Herr Mirzam, Herr Wezen und Herr Adhara beschließen, ihren Streit durch ein Pistolentriell zu beenden, bei dem am Ende nur einer überleben wird. Herr Mirzam ist der schlechteste Schütze, er trifft sein Zeil durchschnittlich nur einmal in drei Versuchen. Herr Wezen schießt besser, bei drei Versuchen trifft er zweimal. Herr Adhara ist der beste Schütze, er trifft immer. Um das Triell fairer zu gestalten, darf Herr Mirzam als Erster schießen, danach Herr Wezen (wenn er noch lebt), dann Herr Adhara (wenn er noch lebt). Schließlich beginnt das Ganze von vorn, bis nur noch einer von ihnen am Leben ist.
Auf wen sollte Herr Mirzam beim ersten Mal schießen?
(Ich verrate später, was das mit Schach zu tun hat)
18 Kommentare
Auf sich selber?? (Keine Ahnung…)
Der Hausverstand sagt, schieß auf den stärksten Gegner zuerst. Das ist naheliegend, intuitiv und daher vermutlich falsch. :-)
Intuitiv neige ich zu der Auffassung, er sollte gar nicht schießen, sondern warten, bis ein Konkurrent den anderen erledigt hat, um im entstehenden Duell den ersten Schuss abgeben zu dürfen. (Wenn er allerdings schießen muss, dann wäre das wohl ein klassischer Fall von Zugzwang – auf den stärksten Gegner zu schießen, wäre in dem Fall am besten, weil er dann auch bei einem Treffer noch Überlebenschancen hat.)
Logisches Verhalten aller Schützen vorausgesetzt führt der Schuss von A auf B zu einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 2/9 für A (sowie 2/9 für B und 5/9 für C), während bei einem Schuss von A auf C die Überlebenswahrscheinlichkeit sich mit einer (Folge?? Reihe?? Matheunterricht ist soo lang her :)) beschreiben lässt, deren Summanden gegen 0 konvergieren, aber 2/9 bereits den ersten Summanden darstellt. So ist aus der Sicht von A der zweite Fall dem ersten vorzuziehen.
Hmm, abgesehen davon, dass mein Zutrauen in meine eigenen Berechnungen immer weiter schwindet, bietet sich vielleicht noch eine elegantere Lösung des Problems an. Der Schuss, den A am Anfang abgibt, ist nur in einem der Drittel der Fälle relevant, denn eine Verfehlung des Ziels, sei es B oder C, führt zu einer identischen Situation. Trifft man am Anfang aber wirklich B, führt dies unweigerlich zu seiner eigenen Auslöschung. Man will B also in Wirklichkeit gar nicht treffen, wenn man auf ihn zielt. Deshalb – um sich der Meinung der Vorgänger anzuschließen – den stärksten Gegner ins Visier nehmen.
Falls mein Name Mirzam wäre und ich dem Duell durch friedliche Beilegung des Streites nicht entgehen kann, würde ich wohl auf Adhara schießen. Die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist 1/3, Adhara würde also vermutlich überleben. Nun schießt Wezen – er sollte ebenfalls auf Adhara schießen, denn wenn er mich erschießen würde, würde das seinen Tod bedeuten.
Hier beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Treffers 2/3 – insgesamt gesehen, müsste Adhara >wahrscheinlich tot< sein.(?)
Daher bin ich nun wieder dran und muss auf Wezen schießen. Die höhere Trefferquote spricht für Wezen – dafür darf ich aber beginnen und habe dadurch einen Vorteil – Überlebenschancen ungewiss….
Ich wäre in jedem Fall dafür, Paintballwaffen zu benutzen. :-)
Natürlich handelt es sich nur um ein Gedankenspiel. Perry Rhodan löst das moralische Dilemma übrigens mit Paralysatoren – Gegner ist ausgeschaltet, aber am Leben und darf sich nach dem Aufwachen geläutert dem Galaktischen Imperium anschließen ;-)
Ein Schuss auf Herrn Wezen ist wahrscheinlich keine gute Idee, man stelle sich nur vor, Herr Mirzam würde treffen…
Welche Möglichkeiten bleiben dann noch übrig?
Eine nicht unwesentliche Rolle dürfte spielen, wie Herr Mirzam die Streitlust der anderen Herren einschätzt. Wenn er davon ausgeht, dass beide ihr jeweiliges Überleben als übergeordnetes Ziel haben und dass beide streng rational vorgehen, dann dürfte es für Herrn Mirzam sinnvoll sein, absichtlich daneben (in die Luft) zu schießen.
Auf diese Weise überträgt er das Schussrecht an Herrn Wezen. Dieser wird keinesfalls auf Herrn Mirzam schießen (man stelle sich nur vor, er würde treffen). Auch auf Herrn Adhara zu schießen, ist aus Sicht von Herrn Wezen riskant — er könnte anschließend eine Kugel des zuvor friedfertigen Herrn Mirzams abbekommen. Stattdessen sollte also Herr Wezen ebenfalls absichtlich daneben schießen.
Damit ist schließlich Herr Adhara dran. Für ihn ist die Lage so, dass er bei einem gezielten Schuss (sinnvollerweise auf Herrn Wezen) anschließend von Herrn Mirzam auf’s Korn genommen würde. Wenn er dagegen absichlich daneben schießt, droht ihm keine Gefahr — da die Herren Mirzam und Wezen in der nächsten Runde zur gleichen Entscheidung wie zuvor kommen dürften.
Wenn natürlich einer der Herren eine andere Präferenzordnung haben sollte oder
nicht streng rational handeln sollte, stellt sich die Lage anders dar …
Junge Junge, Deine Stippvisite beim VCH-Open zeitigt ja ungeahnte Folgen ….
Ich habe keine begründete Antwort, aber mich erinnert das ein wenig an das Ziegenproblem (wer es nicht kennt, mal guuglen, alleine die Wikipediaseite dazu beschäftigt einen problemlos einige Stunden).
An ein absichtliches Danebenschießen hatte ich auch gedacht, nur nicht so konsequent durchdacht, wie CB. Ich bin mit meiner Überlegung nicht weitergekommen, als dass Wezen als Zweiter auf Adhara schießen würde, dieser wiederum eher Wezen als Mirzam ausschalten würde, wonach Mirzam eine 1:3 Überlebenschance hat (wenn er Adhara nicht trifft, ist er tot). Das wohl ist keine Verbesserung gegenüber dem gezielten Schießen von Mirzam auf Adhara.
CB’s Idee gefällt mir jedoch am besten.
@FR Welche Folgen? Meine Gedanken waren schon immer wirr. :-)
@Nordlicht_70: Ich meinte eher Stefan …
Gilt eigentlich bei Herrn Mirzam auch bei dem Versuch, die Luft zu treffen, eine Trefferquote von 1 aus 3?
Toll zu lesen, was hier wahrscheinlich nicht genauer mit Spieltheorie befasste Menschen schreiben.
In einem Spieltheorieseminar haben wir übrigens auch andere Fälle als Rationalität untersucht. Was ist mit anderen Motiven, z.B. Missgunst, Gehässigkeit oder aber auch Altruismus? Ist in diesem Fall wohl nicht relevant, weil das hier ein Nullsummen-/Konstantsummenspiel ist, aber es ist einfach schön, wie diese Wissenschaft sich entwickelt hat. Nicht umsonst hat sie schon mehrere Nobelpreisträger hervorgebracht (bekanntester John Nash, aber auch ein Deutscher: Reinhard Selten).
CBs Lösung, dass alle immer nur in die Luft schießen, gefällt mir. Sie gilt im übrigen völlig unabhängig von den Trefferquoten der drei Schützen (es sei denn, einer hat eine Quote von 0). Die Begründung könnte man auch so formulieren: Für keinen lohnt es sich, einen der an-deren zu erschießen, weil in diesem Moment aus dem Triell ein Duell wird mit der Folge, dass nun Luftschüsse keinen Sinn mehr haben, so dass dann eine positive Wahrscheinlichkeit besteht, selbst erschossen zu werden.
Diese Logik funktioniert aber nur unter der auch schon von CB genannten meines Erachtens nur scheinbar naheliegenden Prämisse, dass jeder nur sein eigenes Überleben sichern will. Wer nämlich so verrückt ist, sich zu so einem Triell zu verabreden, dem müssen auch andere Prämissen zugetraut werden wie z.B. „Hauptsache, X wird erledigt, selbst wenn ich dran glauben muss“. Daher finde ich Lossos Frage nach den Motiven durchaus relevant.
Die Frage ist jedoch, wie geht es bei CBs Lösung weiter? Wird das Triell irgendwann abgebrochen z.B. aus Mangel an Munition oder weil die Polizei alarmiert durch die Schüsse alle noch lebenden Triellanten festnimmt, oder wird in dem Fall gewartet, bis zwei der Teilnehmer irgendwie sterben gemäß der Ausgangsbedingung, dass nur einer der drei Rivalen überlebt?
Im ersten Fall kann es tatsächlich für alle Beteiligten rational sein, in die Luft zu schießen, wenn dem Ziel „Überleben“ eine höhere Priorität gegeben wird als dem Ziel „Das Triell gewinnen“. Anders sieht es im zweiten Fall aus, da entweder beide Ziele oder keins erreicht werden können. Wenn alle die Strategie „In die Luft schießen“ verfolgen, beträgt die Überlebenswahrscheinlichkeit jedes Beteiligten 1/3. Somit lohnt es sich für Adhara, Wezen zu erschießen, da er damit seine Überlebenswahrscheinlichkeit auf 2/3 erhöht. Damit lohnt es sich allerdings für Wezen, vorher auf Adhara zu schießen, da er damit seine Überlebenswahrscheinlichkeit von 0 auf (2/3 * 2/3 * 2/3 + 2/3 * 2/3 * 1/3 * 2/3 * 2/3 + 2/3 * 2/3 * 1/3 * 2/3 * 1/3 * 2/3 * 2/3 +…) erhöht.
Irgendwo wurde streng rationales Verhalten aller Kombattanten unterstellt. Diese Annahme dürfte dem Realitätscheck wohl kaum standhalten. Kleines Beispiel gefällig?
Wann wird denn aufgelöst??
Angesichts der tollen Diskussion wage ich es kaum, auf meine Quelle hinzuweisen (danke, Holger!).